기초대수학 문제풀이

1. 아래의 참/거짓을 판별하시오.

1) 𝐺 = {2, 4, 6, 8} 은 mod 10 곱셈 연산에 대해 group이다.

항등원은 6이고, 역원이 모두 존재하고 닫혀있다.

 

2) 홀수 집합 𝐺는 정수 곱셈 연산에 대해 group이다.

항등원은 1 이지만, 1을 제외(1의 역원은 -1)하고는 역원이 존재하지 않는다.

 

2. group 𝑍75 ∗ 의 위수를 구하시오.

|𝑍75 ∗ | = 𝜙 (75) = 3^0x(3-1)x5^1x(5-1) = 40

75=3x5^2

 

3. 아래 group 에 대해 2가 generator인지 아닌지 판단하시오.

1) 𝑍7 ∗ ≠ ⟨2⟩  2, 4, 1만 나오고 1~6까지 전부 나오지는 않음

2) 𝑍13 ∗ = ⟨2⟩

3) 𝑍19 ∗ = ⟨2⟩

4) 𝑍23 ∗ ≠ ⟨2⟩ 

 

4. 𝐺 = 𝑍*7 = 1,2,3,4,5,6 = ⟨5⟩ 에 대해 위수가 2인 부분군을 구하시오.

위수가 2인 부분군이므로 항등원과 역원이 자기자신인 원소로 구성된다.

따라서 {1,6}

 

5. 그룹 (𝑍*15 ,×) 에 대해 원소 4 의 위수를 구하시오.

4, 4^2 = 1. 따라서 4 = 2이다.

 

6. 1차 방정식 3𝑥 + 1 = 2 의 해를 아래 집합에서 구하시오.

1) 𝑍6 → 해가 없음

2) 𝑍7 → 𝑥 = 5

3) 𝑍8 → 𝑥 = 3

 

7. 유한체 𝑍7 에 대해 𝑥^7 − 𝑥 = 0 을 만족하는 모든 해를 찾으시오.

𝑍7 의 모든 원소가 해가 된다.

 

8. 유한체 𝑍𝑝 (𝑝는 소수) 에 대해 𝑥 ∈ 𝑍𝑝 이면 𝑥^𝑝 − 𝑥 = 0 임을 보이시오.

0 이 아닌 원소 𝑎는 페르마의 작은 정리에 의해서 𝑎^(𝑝−1) = 1이고 𝑎^𝑝 = 𝑎, 𝑎^𝑝 - 𝑎 = 0 을 만족한다.

0은 자명하게 𝑥^𝑝 − 𝑥 = 0 의 해이다.

그렇기 떄문에 유한체 𝑍𝑝 (𝑝는 소수) 에 대해 𝑥 ∈ 𝑍𝑝 이면 𝑥^𝑝 − 𝑥 = 0 이다.